日々徒然

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雑記

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文字を含む不等式の解き方について


pを定数とするとき、xの不等式 px≧2x-3を解け。





この問いを解くにはまずxの係数(文字)を消す必要がある。しかし、文字に充てる数によって解が変わるので、場合分けをする必要がある。
不等式 ax≧b について、その解は

a>0なら
両辺をxの係数(a)で割り、xの係数を消す。
ax/a≧b/a
x≧b/a

a<0なら
ax/a≧b/a
ここで、不等号は両辺を負の数で割ると不等号の向きが変わるから
x≦b/a

a=0なら
0で割ることはできないのと、a=0と文字の中の数が決まってるから、a=0をそのまま代入する。

b≦0(bが0以下の数)のとき
0×x≧b
b≦0
つまり、bにあたる数が0以下(b≦0)の場合、xがどんな数でも、a=0で0がxに掛けられるので、不等式ax≧bが成り立つ。
つまり答えは『すべての実数』

次にb>0(bが0より大きい数)のとき
a=0の場合xに0を掛けるので強制的に0になる。
つまり、a=0、b>0の場合不等式ax≧bは成り立たたず、これを満たす実数xは存在しない。
よって『解はない』





以上の導を利用し問を解くと
px≧2x-3
まずxについてまとめる
(p-2)x≧-3

ax≧bにあてはめると、a=(p-2)、b=-3・・・①

ここで文字pの中の数がわからないから場合分けをする。

まずaが正の数になる条件をもとめる
a>0のとき
a>0に(p-2)を代入する。(①でわかったaの値)
p-2>0
p>2
つまりp>2(pが2より大きい数)のとき(p-2)は正の数になる

p>2のとき
(p-2)x≧-3
(p-2)x/(p-2)≧-3/(p-2)
x≧-3/p-2


次にaが負の数になる条件をもとめる
a<0のとき
a<0に(p-2)を代入する。(①でわかったaの値)
p-2<0
p<2
p<2(pが2より小さい数)のとき(p-2)は負の数になる

p<2のとき
(p-2)x/(p-2)≧-3/(p-2)
ここで両辺を負の数で割るから不等号の向きが変わる。
x≦-3/p-2


a=0のとき
a=0に(p-2)を代入する。(①でわかったaの値)
p-2=0
p=2

pに2を代入する。
px≧2x-3
2x≧2x-3
2x-2x≧-3
0≧-3
ax≧bのbにあたる数が0以下だから解は『すべての実数』


したがって解は
p>2のとき x≧-3/p-2
p<2のとき x≦-3/p-2
p=2のとき すべての実数


これほど詳しく解説したのはないだろう。